LES ELLIPSES

On peut définir une ellipse comme une section plane d’un cône de révolution, réalisée par un plan qui ne coupe qu’une seule nappe du cône. On peut également la définir de deux autres manières. D’abord (fig.1) c’est le lieu des points M tels que la somme de leur distance à deux points fixes, Fet F’, est constante :

LA LOI DU MOUVEMENT SUR ORBITE

Si tous les corps se déplaçant autour d’ un astre attractifs avaient des orbites circulaires centrés sur ce corps, la loi du mouvement serait simple : il s’agirait d’un mouvement circulaire uniforme, dans lequel la direction (corps attractif)-(mobile) tournerait proportionnellement au temps. Mais, le plus souvent, le attractif n’est pas au centre, l’ orbite ayant une excentricité non nulle. On pressent déjà que, lorsque le mobile est plus près du centre attractif, il doit tourner plus vite pour compenser, par une force centrifuge supérieure, une attraction plus grande.

LA PERIODE DE REVOLUTION

Le mobile de masse m, se déplaçant autour du centre attractif de masse M, a un mouvement périodique (en supposant qu’on a à faire à des elliptiques) : chaque fois que le temps augmente de T (soit une période de révolution), il se trouve à la même place, avec la même vitesse. Sa trajectoire est une ellipse de grand axe 2a, et de petit axe 2b, dont la surface S =ab. On peut démontrer que cette période T ne dépend pas ni de la masse du mobile, ni de l’excentricité de la trajectoire, mais seulement de son grand axe et de la masse M du corps attractif, suivant la loi suivante :

VITESSE DE LIBERATION

La présence d’un corps attractif, de masse M, entraîne l’apparition d’une zone, autour de cet astre, où tout objet de masse m se trouve attiré vers lui par une force F=kmM/r2, r désignant la distance de l ‘objet à l’astre, k étant la constante d’attraction universelle. Dans un champ de force dérivant d’un potentiel, le travail qu’on doit effectuer contre les forces du champ pour déplacer un objet d’un point A au point B ne dépend que des positions de A et de B, et pas du chemin utilisé pour aller de A vers B. ce travail équivaut tout simplement à la différence des valeurs du potentiel en A et en B. dans le cas du champ de force de gravitation on peut démonter que ce potentiel est

L’ORBITE GEOSTATIONNAIRE

Les satellites de basse altitude ont une orbite située dans un plan contenant le centre de la terre et faisant avec le plan de l’équateur un angle appelé inclinaison de l’orbite. Ces satellites ont des périodes voisines d’une heure et demie, d’où le nom qu’on leur donne de « satellites 90 mn ». Pour assurer une liaison radio avec de tels satellites, il faut modifier sans cesse l’orientation de l’antenne au sol. Pire encore, on ne peut rester en liaison avec eux que pendant une fraction relativement courte de ces 90 min. Or, plus le grand axe de l’orbite est long, plus la période l’est, comme l’indique la troisIème loi de KEPLER. Donc, si on arriver à disposer d’un grand axe suffisant, la période du satellite sera égale à la durée de rotation de la terre ;moyennant quelques conditions supplémentaires, le satellite restera immobile au-dessus d’un point de la surface terrestre : le problème des antennes se trouvera grandement simplifié.

TRAJECTOIRES DE RACCORDEMENT

Pour obtenir une trajectoire circulaire(en jaune) à une distance r du centre attractif d’un astre de masse M, il faut communiquer au mobile, situé à cette distance du centre de l’astre, la vitesse Vs=kM/r, la direction de cette vitesse étant perpendiculaire à la ligne qui joint le centre de l’astre au mobile. Considérons,fugure 1, la terre de centre O, et une première orbite circulaire S1(en rouge) de rayon r1. Supposons que, quand le mobile arrive au point P, on augmente sa vitesse, en lui appliquant pendant un temps très court une poussée dirigée exactement dans le sens de sa vitesse. La vitesse du mobile n’est donc plus Vs telle que Vs₂=kM/rs, mais nVs, avec 1< n>21/2.
Maintenant, le mobile ne va pas rester sur la trajectoire circulaire S1. Comme sa vitesse est supérieure à kM/r1, son orbite aura un grand axe supérieur à 2r1. la valeur de ce grand axe est 2a=2r₁/(2-n₂), ce qui est supérieur à 2r1, puisque n>1, et reste fini, puisque n₂<2.

HORS DE L’ATTRACTION TERRESTRE

Il s’agit maintenant d’aller plus loin : on veut envoyer une sonde vers un autre planète. On s’en doute, la condition nécessaire pour y arriver est de communiquer à l’objet lancé une vitesse supérieure à la vitesse de libération(2kM/r). a une altitude de d’un centaine de kilomètres, cette vitesse est de l’ordre de 11.1km/s. mais voyons la chose de plus près. Si l’on communique à un objet, à 100km d’altitude, un vitesse à peine supérieure à 11.1km/s, il s’éloignera de la terre, indéfiniment, mais sa vitesse par rapport à la terre tendra vers zéro. En effet, il consacrera la quasi-totalité de son énergie cinétique à ,s’arracher à l’attraction terrestre. Donc, à la limite, quand il sera loin de la terre, il aura par rapport à elle un vitesse pratiquement nulle. Or, notre planète tourne autour du soleil avec une vitesse, sur la trajectoire, proche de 30km/s. l’objet en fera donc autant et se trouvera sur l’orbite terrestre, loin de la terre mais toujours à peu près à la même distance du soleil . Or, ce que nous voulons, c’est une trajectoire de raccordement entre l’orbite de la terre et celle d’une autre planète, donc, de préférence, une orbite de HOHMANN. Il s’agit d’une orbite partant tangentiellement à celle de départ, et tangente également à celle d’arrivée.

CE QUE L’ON NE PEUT PAS FAIRE

Nous avons déjà évoqué l’impossibilité de lancer depuis le sol. La présence de l’atmosphère l’interdit. Mais, même à la surface de la lune, si l’on peut lancer un objet qui échappe totalement à l’attraction de cette astre, on ne peut lancer un satellite de la lune depuis sa surface. Considérons donc la Terre (fig2), de centre O et le point de lancement L à sa surface. Une trajectoire pointant vers le sol est évidemment exclue : l’objet lancé s’écraserait immédiatement. Envisageons un lancement avec une vitesse V1 rigoureusement horizontale, bien évidemment, un peu supérieure à la vitesse de satellisation. La trajectoire, en supposant toute la masse de la terre concentrée en O, est une ellipse dont O est un foyer. La vitesse de lancement étant suffisante, l’apogée A sera au dessus de la surface. Mais cette trajectoire(T1), frôlera la surface sur une grande distance autour du périgée L : elle ne peut donc être utilisée. Lançons avec une vitesse V₂ montante, la trajectoire sera une ellipse (T₂), et l’apogée sera en A. Mais, le périgée P est plus près de O que le point L : il est donc en-dessous de la surface : la trajectoire se termine en C, là où le mobile percute la Terre. Un satellite lancé à une distance r du centre attractif, passera, si la vitesse n’est pas horizontale, à une distance de ce centre inférieure à r, même avec une vitesse montante. La satellisation est donc impossible depuis la surface : le mobile doit être accéléré à très haute altitude.

8 KM/S ? PAS DANS L’AIR!

Lorsqu’un corps se déplace avec une vitesse V dans l’air, ce dernier oppose à son mouvement une force F, dite résistance de l’air, selon la formule

VITESSE DU CENTRE DE GRAVITE

Supposons(fig3a) que, loin dans l’espace, en dehors de toute pesanteur, se trouve un ensemble de deux masses. La plus grande, M, est liée à la petite, m, mais il y a entre elles un puissant ressort, maintenu comprimé, qui tend à les écarter l’une de l’autre. Au début, la petite masse est accrochée à la grande. Le centre de gravité de la grande masse est le point G₁. c’est en G₂ que se trouve celui de la petite masse. Le centre de gravité de l ‘ensemble est alors le point G₃ tel que

LA QUANTITE DE MOUVEMENT

Nous rencontrons ici une nouvelle grandeur : le produit de la masse d’un corps par sa vitesse. Ce produit est nommé la quantité de mouvement de ce corps. Nous avons supposé ici que, initialemet la centre de gravité « global »,G3, du systeme M+m était immobile. Si au moment initial, lorsque on a commandé la séparation du corps de masse m, ce point G3 avait été animé d’une vitesse initiale V0,il aurait fallut modifier un peu les conclusions. En effet le point G3 doit conserver la même vitesse après la séparation, ce qui implique la conclusion suivante : les accroissements de vitesse de M et m sont inversement proportinnels à leur masse. C’est là que réside le secret de la propulsion par réaction. Une fusée projette dérrière elle des corps de petite masse (des gaz), et c’est par appui sur l’inertie des gaz qu’elle en reçoit une force propulsive en sens opposé.

FORMULE DE LA FORCE PROPULSIVE

Soit une fusée dont la masse, à l’instant t, est M(t). Cette notation est utilisée pour dire que la valeur de M est une fonctin de t, fonction evidemment décroissente quand t croît, puisque la fussée brûme du carburant qu’elle contient dans ses réservoires. En un temps dt, que nous considérons comme très petit, la fusée rejette dérrière elle, à la vitesse Ve, une certaine masse dM des produits de combustion. La vitesse de la fusée a donc augmenté de dV et l’on a: M*dV=Ve*dM Si l’on divise les deux membres de cette égalité par le temps dt, on obtient :

LE RAPPORT DE MASSES

Nous avons vu la formule donnant la force propulsive F d’une fusée. Si nous tenons compte du signe de dM(variation instantanée de la masse de la fusée de vitesse V, brûlée et rejetée à la vitesse Ve), nous pouvons écrire

LA POUSSEE D’APPOINT

Avec la fusée à deux étages , on peut regretter que le moteur du deuxième étage ne fonctionne pas déjà pendant que les quatre du premier étage agissent : on y gagnerait en poussée au départ. S’il s’agit effectivement d’un second étage, placé par dessus du premier, cela n’est évidemment pas possible : alors, pourrait-on envisager une disposition un peu différente, pour que, en quelque sorte, le premier étage ne soit pas au dessous du second, mais à côté de lui ?